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EQUAZIONI ELLITTICHE E APPLICAZIONI

- Si intende studiare il problema di Dirichlet per equazioni ellittiche del secondo ordine a coefficienti discontinui in aperti non limitati, anche in ambito pesato. In particolare, nell'ipotesi in cui i coefficienti dei termini di ordine massimo dell'operatore abbiano derivate in opportuni spazi di tipo Morrey, ci si propone di cercare delle condizioni affinchè si possano ottenere stime a priori, e risultati di esistenza e unicità.- Si ha anche intenzione di studiare il problema di Dirichlet per equazioni ellittiche del secondo ordine a coefficienti singolari in aperti non regolari. Si spera di ottenere principi di massimo, risultati di regolarizzazione, teoremi di esistenza e unicità.- Tramite un approccio via stime potenziali, si tenterà di ottenere delle limitazioni a priori per una classe di operatori uniformemente ellittici non variazionali, in aperti limitati, supponendo che i coefficienti principali soddisfino delle ipotesi che generalizzano le ipotesi di tipo Cordes.- Disuguaglianze di Hardy pesate. - Operatori di tipo Schrodinger e generazione di semigruppi fortemente continui.- Ricorrendo alle proprietà variazionali del p-Laplaciano si intendono correlare le soluzione viscose degli autovalori dell'∞-Laplaciano con condizione di Neumann con le soluzioni di problemi di trasporto ottimo.- Si vuole dimostrare la disuguaglianza di Harnack per soluzioni di viscosità non negative di equazioni non lineari uniformemente ellittiche in forma di non divergenza del tipo F(D^2u, Du, u, x)=f(x), in un dominio limitato di R^n, quando il termine noto e i coefficienti dell'operatore appartengono a uno spazio pesato.- Si intende estendere il Teorema di Lebesgue a funzioni appartenenti a spazi funzionali invarianti per riordinamento (spazi di Orlicz, spazi di Lorentz, spazi di Marcinkiewicz, etc.). Tali spazi contengono, infatti, lo spazio delle funzioni localmente integrabili come sottoclasse notevole.