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METODI DI SHRINKAGE PER LA PREVISIONE DI MATRICI DI VOLATILITÀ DI ELEVATA DIMENSIONE

L’approccio più diffuso alla previsione della volatilità in ambito multivariato è quello basato sull’utilizzo di modelli GARCH multivariati, identificati e stimati a partire da serie storiche di rendimenti giornalieri (si veda Bauwens et al., 2006). Negli ultimi anni si sta diffondendo un approccio alternativo basato sulla stima di modelli dinamici adattati direttamente a delle serie storiche di matrici di varianza e covarianza realizzate (si veda Bauwens et al. 2012, 2013). Entrambi questi approcci soffrono di un limite comune legato alla tendenza del numero di parametri a crescere in maniera estremamente rapida al crescere della dimensione del problema. Già per dimensioni moderatamente elevate (n maggiore di 10), infatti, la stima di questi modelli risulta essere proibitiva a causa del numero di parametri eccessivamente elevato. Al fine di rendere il problema di stima statisticamente trattabile, si ricorre solitamente all’imposizione di vincoli di omogeneità sulle proprietà dinamiche della matrice di varianze e covarianze condizionata del processo. L’imposizione di tali vincoli consente di risparmiare parametri ma, al tempo stesso, limita pesantemente la flessibilità del modello. Nel caso più estremo si assume che tutte le covarianze o correlazioni condizionate siano caratterizzate dalla medesima persistenza. Si parla in tal caso di modello “scalare”.Nel presente progetto si intende proporre una procedura alternativa per la previsione di matrici di volatilità, ovvero matrici di varianze e covarianze condizionate dei rendimenti, di elevata dimensione. Tale procedura si basa sull’utilizzo combinato di tecniche di regolarizzazione e di shrinkage (Ledoit and Wolf, 2012). Per semplicità si illustrerà la struttura della tecnica proposta con riferimento al caso di modelli GARCH multivariati ma essa può essere estesa, con semplici modifiche, al caso di modelli dinamici per matrici di covarianza realizzate.Nello specifico, si assuma che la base dati di partenza sia data da una matrice di rendimenti su n assets osservati per T istanti temporali e che n assuma valori elevati (maggiori o uguali a 10). La prima fase dell’algoritmo prevede la stima dell’intero insieme di sotto-modelli bivariati che è possibile definire sul dataset di partenza (ad es. modelli DCC) nello spirito del McGyver Method proposto da Engle (2008). Per ogni istante t, dall’insieme di n(n-1)/2 modelli stimati si procede a ricostruire una stima dell’intera matrice di varianze e covarianze condizionata dei rendimenti (di dimensione nxn). La procedura non garantisce che la matrice così ottenuta sia positiva definita. Per ovviare al problema si può procedere ad una sua regolarizzazione attraverso tecniche di eigenvalue cleaning (si veda e.g. Hautsch et al., 2012). Condizionatamente a questa stima iniziale, si procede quindi alla stima finale della matrice di varianze e covarianze condizionata utilizzando tecniche di shrinkage. In pratica, lo stimatore della matrice di varianze e covarianze condizionata viene ottenuto attraverso lo shrinkage di una stima basata su una parametrizzazione di tipo scalare verso una matrice target data da una versione regolarizzata della stima della matrice di varianze e covarianze condizionate precedentemente ottenuta sulla base dell’intero insieme di sotto-modelli bivariati. L’intuizione alla base della proposta è che ci si attende che le stime ottenute dal modello scalare siano distorte ma meno variabili delle stime ottenute dai modelli bivariati. L’applicazione di tecniche di shrinkage dovrebbe quindi consentire l’individuazione del trade-off ottimale fra variabilità e distorsione.La performance previsiva dell’approccio proposto verrà confrontata con quella di approcci alternativi, come l’approccio di Bauwens et al. (2014) attraverso l’applicazione a dati reali e studi di simulazione Monte Carlo.