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ANALISI MATEMATICA PER STRUTTURE SOTTILI, DECOMPOSIZIONE DI IMMAGINI E PROBLEMI DI EQUILIBRIO IN ELASTICITÀ.

La ricerca riguarderà principalmente la descrizione di strutture sottili non omogenee, la decomposizione di immagini e la ricerca di condizioni di equilibrio per energie non convesse nell'ambito dell'Elasticità, cercando di determinare un'opportuna equazione differenziale che descriva il fenomeno ed ammetta un'unica soluzione. L’omogeneizzazione ha lo scopo di dedurre proprietà ‘mediate’ dicompositi in cui due o più componenti con differenti proprietà chimicofisiche-elettriche coesistono e interagiscono a scale di grandezza diverse.L’obiettivo è capire come ‘miscelare’ le grandezze in gioco a livellomicroscopico per consentire al modello macroscopico di esibire ilcomportamento desiderato. Spesso questi problemi sono descritti in terminidi energie integrali in un contesto variazionale. Considereremo energiesoggette a vincoli (come quelle introdotte nei modelli energetici di elastomerinonlineari, o per la descrizione di insiemi di snervamento).La comprensione del processo di omogeneizzazione in presenza divincoli, è anche strumentale alla risoluzione di problemi di min-max conmicrostruttura, presenti in fenomeni di conduzione. Ad esempio la primarottura del dielettrico in un conduttore sottile (cf. [BGP], [BPZ], [Z]), oppure la comparsa di fenomeni di plasticità. Molte sono le questioni ancora aperte sia per funzionali integrali a crescita standard, sia per funzionali integrali non limitati sia per funzionali supremali, tra queste la possibilità di considerare vincoli non convessi e problematiche multiscala, per descrivere strutture sottili con fini eterogeneità diversamente posizionate e distribuite a livello micro e meso (scala).L' altro campo di investigazione, in cui compaiono più ‘energie’ da bilanciare per raggiungereuna configurazione di equilibrio, è legato alla progettazione ottimale in ambitomeccanico (ottimizzazione della ‘compliance’) o elettrico, in cui si ottienegrandezza (spostamento o conduzione) che è a sua volta un min o un maxrispetto ad un'altra (insieme in cui è inserito il singolo materiale). Ondeevitare soluzioni energeticamente convenienti ma corrispondenti a materialifittizi, si impongono vincoli di perimetro sulle zone da occupare ([AB], [KL]).I diversi materiali sono descritti da ‘energie’ differenti, molti casi sono stati analizzati in [CZ1, CZ2]: resta aperto il caso di comportamenti energetici non standard, che matematicamente corrispondono al rilassamento in presenza di gap.Un'ulteriore tema di ricerca riguarda la ricerca di condizioni di equilibrio per materiali iperelastici, cercando di derivare opportune equazioni di Eulero-Lagrange. Sotto il profilo matematico si cercherà di utilizzare ed estendere la teoria della dualità, in assenza di ipotesi di convessità, al fine di determinare esistenza ed unicità delle configurazioni di equilibrio dei modelli considerati. Tale analisi è motivata da modelli fisici, studiati nei lavori, (cf. [B, CD]) mentre le tecniche che si intende adoperare, sono volte a generalizzare i metodi introdotti in [AG] e [GVDP] GANGBO, W. & VAN DER PUTTEN,Uniqueness of equilibrium configurations insolid crystals. SIAM Journal on Math. Anal. 32, (3) (2000) 465-492.Per quel che concerne la decomposizione di immagini si vuole ottenere un modello integrale che tenga conto delle componenti 'cartoon' e 'noise' e delle eventuali interazioni energetiche fra loro. Base di partenza scientifica può considerarsi: Image denoising and decomposition with total variation minimization and oscillatory functionsL. Vese, S. Osher, Journal of Mathematical Imaging and Vision, 20: 7-18, 2004. Da un punto di vista matematico ciò corrisponde a trattare campi vettoriali in spazi funzionali diversi fra loro e capire se e in quale componente energetica interagiscano.