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SISTEMI IN EVOLUZIONE E DIPENDENZA STOCASTICA: MODELLI, METODI E APPLICAZIONI

Il progetto di ricerca sarà rivolto verso i seguenti temi:(i) Studio di modelli matematici per l'affidabilità di sistemi complessi, anche con riferimento a sistemi di tipo rete.(ii) Costruzione e analisi di modelli probabilistici per moti a velocità finita e di tipo diffusivo (in presenza di salti e di barriere di diversa natura) e studio delle leggi probabilistiche relative.(iii) Analisi di processi stocastici per la descrizione di sistemi biologici in evoluzione, anche con attenzione allo studio di misure d'informazione basate sull'entropia cumulativa e sulla mutua informazione.(iv) Individuazione e studio di nuovi modelli di passeggiate aleatorie su strutture di varia natura.Punto (i): Ci si propone di considerare sistemi coerenti aventi una fissata struttura caratterizzata dalla presenza di dipendenza. Si assume che le componenti del sistema possano essere selezionate da 2 differenti insiemi, di diversa natura. Si intendono fornire condizioni sufficienti sui tempi di vita dei componenti e sul numero aleatorio di componenti selezionati da ciascun insieme affinché l’affidabilità del sistema sia ordinata secondo diversi ordinamenti stocastici. Si farà particolare indagine del caso di sistemi in serie e di sistemi in parallelo, con approfondimento al caso in cui le componenti sono dipendenti, secondo vari schemi di dipendenza.Punto (ii): S’intende studiare processi stocastici descriventi moti aleatori di tipo diffusivo, eventualmente perturbati dal processo del telegrafo integrato in presenza di salti. Per tale categoria di processi ci si propone di ricavare le leggi di probabilità, anche in relazione a problemi di primo attraversamento in presenza di barriere opportune. Nei casi in cui risulta possibile, ci si prefigge di costruire algoritmi per la determinazione delle leggi di probabilità attraverso metodi computazionali efficienti, e di studiare la caratteristica di martingala con riguardo alle applicazioni in contesti della matematica finanziaria.Punto (iii): Si desidera analizare modelli stocastici idonei a descrivere i tempi di sopravvivenza di sistemi biologici. A tale proposito si fa riferimento ad una popolazione multispecie governata da un processo di nascita-morte con tassi lineari, ricorrendo a processi stocastici di punto aventi uno spazio degli stati definito su una struttura di tipo grafo. Si porrà attenzione allo studio dei tempi di primo passaggio per lo stato zero (rivisto come stato di estinzione). La parte innovativa della ricerca consisterà nell’effettuare confronti stocastici tra tali tempi aleatori ricorrendo anche al modello delle funzioni d’azzardo inverse proporzionali per descrivere lo stato iniziale dei processi coinvolti. Ci si attende di pervenire ad espressioni in forma chiusa, e studiare il comportamento asintotico delle leggi di probabilità. Lo studio coinvolgerà anche l’individuazione e l’analisi di proprietà di misure d'informazione e indici statistici basati sull'entropia cumulativa o sulla mutua informazione.Punto (iv): Ci si propone di studiare in dettaglio delle opportune passeggiate aleatorie bidimensionali, su strutture reticolari simmetriche. S’intende determinare l’espressione delle probabilità di transizione di tale processo utilizzando un approccio basato sulle funzioni generatrici e sulla risoluzione di opportuni sistemi di equazioni alle differenze. Lo studio di tale processo sarà poi arricchito dall’indagine del suo comportamento asintotico, possibilmente facendo uso di strumenti della teoria delle grandi deviazioni.