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TRATTAMENTO NUMERICO DI PROBLEMI DIFFERENZIALI DI EVOLUZIONE

L’indagine scientifica intrapresa proseguirà come segue.Problemi di reazione-diffusione oscillanti. L’indagine scientifica, già avviata rispetto alla costruzione di schemi numerici alle differenze finite e a coefficienti variabili adattati al problema in spazio e tempo, procederà verso l’analisi di questi schemi numerici e la stima dei parametri incogniti da cui dipendono i coefficienti del metodo. L’analisi verterà principalmente sullo studio dell’errore, ai fini di provare la convergenza, produrre stime d’errore e garantire la stabilità. Lo studio dell’errore, unitamente a quello delle proprietà qualitative del problema, fornirà tecniche per la stima dei parametri incogniti da cui il metodo dipende. Problemi di avvezione-diffusione. La semidiscretizzazione lungo lo spazio di equazioni alle derivate parziali, quali ad esempio le equazioni di avvezioni-diffusione, può dare luogo a sistemi di equazioni differenziali ordinarie la cui soluzione è dominata da una componente cosiddetta stiff, che richiede metodi implici e altamente stabili, e da una componente non-stiff, più semplice da integrare. Si intendono sviluppare metodi multi-value di tipo IMEX con condizioni d'ordine disaccoppiate tra metodo implicito ed esplicito e di conseguenza con molti parametri liberi da utilizzare per ottenere proprietà di stabilità ottimali. Inoltre tali metodi, avendo ordine alto negli stadi, non saranno soggetti alla riduzione dell'ordine effettivo.Problemi conservativi. La ricerca nell’ambito della risoluzione numerica di problemi Hamiltoniani continuerà nello spirito dell’integrazione geometrica, ossia volta con enfasi al loro trattamento numerico mediante metodi che ne ereditino le proprietà qualitative e conservino i medesimi invarianti. La famiglia di metodi oggetto di ricerca è quella dei metodi multi-value che godano delle proprietà di G-simpletticità, simmetria e componenti parassite limitate a lungo termine. La costruzione di metodi multi-value G-simplettici, notoriamente dipendenti da molti parametri liberi, può giovare di una teoria generale dell’ordine, che sia priva delle usuali restrizioni (ad esempio, ordine alto negli stadi) che hanno ricadute negative sull’effettiva costruzione di nuovi metodi, migliori di quelli esistenti.Problemi evolutori con memoria. Si intende fornire una stima dell’errore per il metodi di collocazione e quasi collocazione a due passi per VIEs, ottenuti rilassando alcune condizioni di interpolazione e/o collocazione per ottenere un ordine di convergenza elevato senza deteriorare le proprietà di stabilità. Tale stima verrà utilizzata per lo sviluppo di un solutore a passo variabile. Problemi oscillanti con memoria. Per VIEs con soluzione periodica i metodi exponentially fitted (EF) sono caratterizzati da parametri dipendenti da una stima della frequenza. Si vuole studiare la stabilità dei metodi exponentially fitted, sia per determinare limitazioni sul passo di integrazione, sia per valutare come le proprietà di stabilità dipendano dalla frequenza del problema. Un approccio efficiente ai problemi di evoluzione con memoria necessita dello studio di opportune tecniche di quadratura numerica. Sono state costruite formule di quadratura efficienti di tipo EF modificate per l'approssimazione di integrali di funzioni oscillanti su intervalli di integrazione non limitati, che tendono alle formule di Gauss-Laguerre classiche quando la frequenza tende a zero, evitando la risoluzione di sistemi lineari mal condizionati. Si studierà l’ordine asintotico dell’errore di tali formule, al fine di ottenere un errore che tende a zero all’aumentare della frequenza.