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CLASSI DI GRUPPI

(1) Gruppi con condizioni finitarie su centralizzanti, normalizzanti, sottogruppi notevoli. Un gruppo G si dice residualmente finito se è banale l'intersezione di tutti i sottogruppi di G di indice finito. Non è nota la risposta al problema seguente: è localmente finito un gruppo periodico residualmente finito possedente un elemento x con C_G(x) finito? P.Shumyatsky e N.Rocco hanno provato che la risposta è affermativa se x è un 2-elemento, ancora Shumyatsky ha provato che la risposta è affermativa se sono finiti i sottogruppi 2-generati di G. G.Fernandez-Alcober, L.Legarreta, A.Tortora e M.Tota hanno recentemente provato che se n è un intero positivo, G un gruppo residualmente finito e per ogni x in G il sottogruppo generato da x è normale o di indice al più n in C_G(x), allora G è localmente finito. Nel 1980 R.I.Grigorchuck ha costruito un 2-gruppo infinito 3-generato e un p-gruppo infinito 2-generato. N.Gupta e S.Sidki hanno costruito un ulteriore esempio di p-gruppo infinito 2-generato (p primo dispari). Tali gruppi sono esempi di gruppi periodici infiniti e non localmente finiti. Sono inoltre gruppi residualmente finiti. Si studieranno i centralizzanti degli elementi nei gruppi di Grigorchuck e di Gupta-Sidki. L'esistenza in tali gruppi di un elemento x tale che C_G(x) è finito porterebbe all'esistenza di un gruppo residualmente finito non localmente finito con un centralizzante finito. Si studieranno poi i gruppi in cui i sottogruppi sono abeliani oppure coincidono con il proprio normalizzante. Si tratta di una sottoclasse della classe recentemente studiata da C. Delizia, H. Dietrich, P. Moravec, C. Nicotera (J. Algebra 462, 2016, 23-36). Si investigheranno infine i gruppi con un numero finito di classi di isomorfismo di sottogruppi non-abeliani. (2) Elementi di Engel nei gruppi. L'esempio di V. Bludov non è mai stato pubblicato. L.Bartholdi ha mostrato che nei gruppi di Grigorchuck gli elementi di Engel a sinistra non costituiscono un sottogruppo. Si studieranno gli elementi di Engel a destra nei gruppi di Grigorchuck, e se essi costituiscono un sottogruppo. (3) Problemi inversi in alcune classi di gruppi infiniti. Si continuerà lo studio della struttura del sottogruppo generato da S e la struttura di S se S è un sottoinsieme finito di ordine k di un gruppo ordinato G tale che |S^2| è minore o uguale di 3k-2. E' stato provato da G. Freiman, M. Herzog, P. Longobardi, M. Maj che se |S^2|è minore o uguale a 3|S|-3, allora il sottogruppo generato da S è abeliano; inoltre, per ogni k, esiste un gruppo ordinato possedente un sottoinsieme S di ordine k con |S^2| = 3k-2 e tale che il sottogruppo generato da S non è abeliano. Si studierà l'esistenza di un limite superiore f(k) tale se S è un sottoinsieme di ordine k di un gruppo ordinato e |S^2| è minore o uguale a f(k), allora il sottogruppo generato da S è risolubile o non è semplice. Si studierà inotre, più in generale, la struttura del sottogruppo generato da un insieme finito S di un gruppo aperiodico G, se |S^2|è minore o uguale a 3|S|-4.