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CLASSI DI GRUPPI

La ricerca tratterà i temi seguenti.(1) Gruppi con condizioni finitarie su sottogruppi notevoli.Gruppi con l'insieme di tutti i sottogruppi, di tutti i sottogruppi abeliani o di tutti i sottogruppi non-abeliani soddisfacenti condizioni finitarie quali la condizione massimale o la condizione minimale sono stati studiati da molti autori (cfr. per esempio S.N.Cernikov, Soviet Math. Dokl., 5, 1964, 1610-1611 e Ukrainian Math. J.,19, 1967,715-731; L.Kurdachenko, D.Zaicev, Ukrainian Math. J., 43, 1991, 863-868). Si studierà la struttura dei gruppi in cui i sottogruppi non-abeliani riempiono un numero finito di classi di isomorfismo.(2) In un lavoro pubblicato recentemente [C. Delizia, U. Jezernik, P. Moravec e C. Nicotera (Monatsh. Math. 2017), prendendo spunto da un problema posto da P. Zalesskii, si sono studiati i gruppi in cui ogni sottogruppo non abeliano coincide col proprio normalizzante. E’ molto naturale pensare di estendere lo studio ai gruppi in cui tutti i sottogruppi non nilpotenti sono autonormalizzati. Questi gruppi sono risolubili oppure perfetti, ed è auspicabile ottenere anche per questa classe risultati notevoli nel caso finito e nel caso risolubile infinito.(3) Gruppi con classi di coniugio finite in un sottogruppo verbale.Assegnati una parola w e un gruppo G, si denota con w(G) il sottogruppo verbale di G corrispondente a w, ossia il sottogruppo generato da tutti i valori assunti da w negli elementi di G. Il gruppo G è un FC(w)-gruppo se per ogni elemento x di G l’insieme dei coniugati di x tramite i valori assunti da w in G è finito. Un sottogruppo H di w(G) è FC-immerso in G se per ogni elemento x in G l’insieme dei coniugati di x tramite gli elementi di H è finito. E’ noto che se la parola w è concisa, allora G è un FC(w)-gruppo se e solo se w(G) è FC-immerso in G. Esistono esempi che mostrano che ciò non è più vero se la parola w non è concisa. Sarebbe però interessante capire se per una arbitraria parola w è vero che G è un FC(w)-gruppo se e solo se il derivato w(G)’ è FC-immerso in G.(4) Elementi di Engel nei gruppi.L'esempio di Bludov non è mai stato pubblicato. L.Bartholdi ha mostrato che nei gruppi di Grigorchuck gli elementi di Engel a sinistra non costituiscono un sottogruppo. Si studieranno gli elementi di Engel a destra nei gruppi di Grigorchuck, e se essi costituiscono un sottogruppo.(5) Gruppi in cui ogni sottoinsieme di 4 elementi ne contiene 2 che generano un sottogruppo nilpotente.E’ facile verificare che se per ogni possibile scelta di 3 elementi in un assegnato gruppo ne esistono 2 che generano un sottogruppo nilpotente allora tutti i sottogruppi 2-generati del gruppo in questione sono nilpotenti. Ci si propone di studiare se ciò resta vero anche nell’ipotesi molto più debole in cui per ogni possibile scelta di 4 elementi ne esistono 2 che generano un sottogruppo nilpotente. Il problema in questione è stato posto da A. Abdollahi, e figura in The Kourovka Notebook (unsolved problems in group theory – Problem 17.3). (5) Problemi inversi in alcune classi di gruppi infiniti.Si continuerà lo studio della struttura del sottogruppo generato da S e la struttura di S se S è un sottoinsieme finito di ordine k di un gruppo ordinato G tale che |S^2| è minore o uguale di 3k-2. Si studierà inotre, più in generale, la struttura del sottogruppo generato da un insieme finito S di un gruppo aperiodico G, se |S^2|è minore o uguale a 3|S|-2.(6) Proprietà de gruppi finiti e periodici determinate dagli ordini dei loro elementi.Il problema di ottenere informazioni sulla struttura di un gruppo periodico investigando gli ordini degli elementi è stato studiato da molti autori. H. Amiri, S.Jafarian Amiri e M. Isaacs hanno introdotto la funzione psi(G), somma degli ordini degli elementi di un gruppo finito, ed hanno provato che se G è un gruppo non ciclico di ordine n, allora psi(G) < psi(C_n), dove C_n denota il gruppo ciclico di ordine n. Si continuerà lo studio della funzione psi(G) e dei suoi legami con l'ordine di G.