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MODELLISTICA NUMERICA PER PROBLEMI DIFFERENZIALI E INTEGRALI DI EVOLUZIONE

Per quanto attiene alla risoluzione di sistemi di ODEs mediante metodi multivalue di tipo GLM, verranno introdotti ed analizzati opportuni integratori in tempo di tipo implicito-esplicito adatti ad approssimare operatori il cui campo vettoriale è caratterizzato da una componente stiff e una non stiff. Particolare enfasi verrà data allo studio dell'errore di troncamento e alla sua stima, tassello fondamentale per il disegno di algoritmi a passo ed ordine variabile. Nell'ambito dei problemi differenziali frazionari, la ricerca riguarderà l'introduzione di metodi a due passi di collocazione per equazioni differenziali frazionarie, al fine di ottenere migliori barriere di ordine e stabili se confrontati con il caso one-step. Si propongono inoltre metodi paralleli Waveform Relaxation di tipo Schwarz per la risoluzione numerica di equazioni frazionarie di tipo diffusione-onde. Si costruiranno condizione di trasmissione ottimali per garantire la convergenza in un numero finito di iterazioni.Per quanto riguarda la soluzione numerica di VIEs si porrà l’attenzione sui metodi di collocazione a due passi che innalzano l’ordine di convergenza dei metodi ad un passo, mantenendo buone proprietà di stabilità e senza innalzare il costo computazionale. Si intende procedere all'implementazione a passo variabile di tali metodi, sfruttando una opportuna stima dell’errore.Per quanto concerne le SVIEs, si intende studiare la stabilità in media quadratica ed asintotica dei theta-metodi di tipo Eulero-Maruyama e Milstein, recentemente introdotti, rispetto all'equazione test base e all'equazione con nucleo di convoluzione, al fine di rappresentare le ragioni di stabilità ed evidenziare le corrispondenti restrizioni sul passo di integrazione. Per quanto attiene alla risoluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche, verrà affrontato lo studio del comportamento dei metodi lineari multistep stocastici applicati ad equazioni test non lineari che generino soluzioni contrattive in media quadratica, ossia esponenzialmente stabili. Verranno inoltre trattate le proprietà a lungo termine di metodi stocastici indiretti applicati a problemi oscillanti, come gli oscillatori stocastici smorzati, mostrando sotto quali vincoli tali metodi numerici evidenziano le medesime proprietà a lungo termine delle soluzioni del problema continuo.Per quanto riguarda la risoluzione di PDEs di tipo reazione-diffusione e reazione-diffusione-avvezione, verranno introdotti ed analizzati schemi numerici alle differenze finite su basi non polinomiali, la cui scelta avverrà tenendo conto del comportamento qualitativo delle soluzioni noto a priori. Verrà fornito uno studio rigoroso delle proprietà di convergenza, unitamente allo studio della stabilità a lungo termine, sempre in relazione al caso polinomiale, al fine di evidenziare bontà e criticità dell'approccio. Verrà fornita una stima dei parametri da cui dipendono i coefficienti del metodo numerico, mediante tecniche efficienti di minimizzazione dell'errore locale di troncamento. Verranno inoltre introdotti opportuni schemi numerici per l'integrazione nel tempo che tengano conto delle caratteristiche dello spazio vettoriale, con particolare riferimento al caso degli schemi di tipo implicito-esplicito.