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METODI NUMERICI INNOVATIVI PER EQUAZIONI DINAMICHE O EVOLUTIVE, ASSOCIATE A PROCESSI STOCASTICI, ANCHE PER PROBLEMI DI CONTROLLO OTTIMALE

Attività inerenti al progetto di ricerca sono: incontri per giornate di studio con esperti in materia, collaborazione attiva con un gruppo di ricerca dell'Università di Würzburg, partecipazione a conferenze nazionali ed internazionali, e l'eventuale acquisto di materiale bibliografico ed informatico.Sezioni di ricerca:A) Per l'attività principale si studieranno problemi di ottimizzazione vincolata dove il vincolo è un'equazione Fokker-Planck (EDP di tipo parabolico) [3], e sue generalizzazioni in più dimensioni [4], iperbolico ed integro-differenziale. Il problema di ottimizzazione è non-lineare, e consiste nel minimizzare un funzionale quadratico della soluzione dell'equazione EDP, che dipende da una funzione di controllo. La tecnica base di minimizzazione prevede la scrittura di un “sistema di ottimalità” (SO), che si ottiene da un problema di minimo funzionale su moltiplicatori di Lagrange.Il SO è composto da una coppia di EDP da risolvere in avanti e all'indietro nel tempo, più un problema di ricerca del minimo. Si prevede di estendere lo studio a SO costituiti da equazioni integro differenziali. I metodi numerici dovranno essere positivi e conservativi per l'equazione in avanti. Per l'equazione all'indietro i metodi possono risultare da un approccio “prima discretizzare poi ottimizzare”. Una applicazione esempio di questo problema di ottimizzazione è nel “Model Predictive Control Scheme”, dove il controllo ottimale di una traiettoria viene effettuato in “finestre di tempo”, su una sequenza assegnata di funzioni. Altre applicazioni potrebbero essere nella risoluzione di problemi inversi. La ricerca in questo ambito è di frontiera e si può considerare nella sua fase iniziale [1,2].Questa sezione della ricerca sarà svolta in collaborazione con il Prof. Alfio Borzì dell'Università di Würzburg, riconosciuto esperto internazionale del settore.E' possibile una collaborazione con altri ricercatori tedeschi sul tema dei "problemi inversi".B) Per attività secondaria potrebbe continuare lo studio della Liouville Master Equation (LME) con memoria, ovvero con condizioni al bordo non-locali. Ad esempio, metodi numerici per la LME in forma differenziale [5] (EDP iperboliche) ed integrale [6,7] (di tipo Volterra-renewal con mappa).Questi due problemi matematici sono molto poco conosciuti, e necessitano metodi numerici ad essi appropriati. E' possibile la collaborazione con la Prof.ssa Eleonora Messina, del Dipartimento di Matematica dell'Università di Napoli Federico II.Bibliografia[1] A. Borzì, V. Schultz, “Computational Optimization of Systems Governed by Partial Differential Equations” SIAM 2012[2] F. Tröltzsch , “Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications” 2010[3] M. Annunziato, A. Borzì, “Optimal Control of Probability Density Functions of Stochastic Processes”, Math. Mod. and Analysis, 15 (2010) 393-407.[4] M. Annunziato, A. Borzì, “A Fokker-Planck control framework for multidimensional stochastic processes”, in stampa su JCAMM 2012.[5] M. Annunziato, “A finite difference method for piecewise deterministic processes with memory. II” Math. Mod. and Analysis, 14 (2009) 139-158[6] M. Annunziato, E. Messina, “Numerical treatment of a Volterra integral equation with space maps”, Ap.Num. 60 (2010) 809-815.[7] M. Annunziato, H. Brunner, E. Messina, “Asymptotic stability of solutions to Volterra-renewal Equation with Space Maps”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 395 (2012) No. 2, pp. 766-775[8] M. Annunziato, “On the Action of a Semi-Markov Process on a System of Differential Equations”, Math. Mod. Analysis Vol. 17 (2012) No. 5, pp. 650-672[9] M. Annunziato, A. Borzì, “Fokker-Planck-based control of a two level open quantum system”, Math. Models and Meth. in Appl. Sci. Vol. 23 (2013) No. 11, pp. 2039-2064[10] M. Annunziato, A. Borzì, "Optimal control of a class of piecewise deterministic processes", Eur. J. of Appl. Math. Vol. 25 (2014), pp. 1-25