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MODELLI MATEMATICI PER LA COMPLESSITÀ

Negli ultimi anni questo gruppo ha ottenuto incoraggianti risulati sulla transizione di scala e su quelle funzioni speciali che sono in grado didescrivere l'evoluzione del modellonel cambiamento di scala.Un elemento importante nel passaggio dal micro al macro livello è la presenza di simmetrie. Un qualunque fenomeno complesso sembra avere a livellomacroscopico un coordinamento e comportamento cooperativo che si esprime mediante la presenza di simmetrie nella struttura. L'attività coordinata di unapopolazione ampia di individui (cellule, insetti, mammiferi) si può analizzare con un modello di equazioni di diffusione a livello macroscopico e invece con unmodello del tipo competizione a livello microscopico. Tuttavia in quest'ultimo è normalmente assente un qualsiasi elemento che possa tener conto di comportamentitipo random e sopratutto non è possibile individuare, a livello elementare, una qualsiasi simmetria. Nelle ultime ricerche portate avanti in questo progetto invece si èosservato che mediante l'uso di funzioni speciali e interpretando alcuni fenomeni apparentemente privi di simmetria, in opportuni basi di wavelets, è possibileritrovarvi alcuni pattern tipici. In altri termini per studiare fenomeni complessi (come per es. la crescita tumorale o mutazioni di sequenze di DNA) questo progettopropone di continuare con l'approccio di cui alle pubblicazioni allegate e cioè di formulare un quadro di equazioni ibride e studiare le soluzioni rispetto ad una basee ad uno spazio di funzioni che permetta per sua stessa definizione il passaggio di scala (come accade con le wavelets). Gli obiettivi di questo progetto sono da un latoquelli di approfondire lo studio di alcune famiglie di wavelets (armoniche e di Shannon) e dall'altro di applicarle sia allo studio di soluzioni di sistemi differenzialiibridi che come filtri (proiezioni) per segnali biologici. Il calcolo esplicito dei coefficienti di connessione per le wavelet armoniche e la loro applicazione nellaproiezione di operatori differenziali di tipo iperbolico-parabolico è stato iniziato (e portato avanti) dal coordinatore con risultati notevoli nello studio diproblemi di evoluzione in micro-strutture.In particolare verranno prese in considerazioni famiglie di wavelet complesse (di Littlewood Paley) o da esse derivate come le wavelets di Shannon. La lorolocalizzazione "sharp" nella frequenza e la possibilità di aumentarne le oscillazioni in funzione del parametro di scala hanno già permesso di estrapolare singolarità esimmetrie in sequenze di DNA e di caratterizzare facilmente alcuni parametri tipici della complessità come la dimensione frattale. L'analisi dei random walks insequenze di DNA ha messo in evidenza l'esistenza di funzioni di Cantor generalizzate che notoriamente godono della proprietà di self-similarità o invarianza di scala.Tale invarianza può essere rappresentata efficientemente mediante serie di wavelets (armoniche). Infatti è stato dimostrato, da questo gruppo di ricerca, che i fenomenifrattali o multifrattali (apparentemente più complessi di quelli regolari) sono rappresentati da un ridotto numero di coefficienti di wavelets limitati soltanto alla scalapiù bassa.Questo fa pensare che fenomeni naturali tendano a essere più facilmente rappresentabili da frattali i quali, di converso, si studiano in maniera (computazionalmentepiù efficiente) in basi di wavelets.Basandoci su alcuni parziali risultati si cercherà di dimostrare l'esistenza di una relazione tra l'evoluzione strutturale del DNA e l'evoluzione temporale di alcuni parametri frattali (dimensione frattale e lacunarità).