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MODELLISTICA NUMERICA PER PROBLEMI DIFFERENZIALI E INTEGRALI DI EVOLUZIONE

Per la risoluzione di sistemi di ODEs, la cui soluzione è dominate da una componente stiff e una non stiff, sono stati introdotti metodi IMEX GLM. Tra essi sono stati recentemente introdotti metodi di tipo partizionato. Oggetto della ricerca in questo ambito sarà l’analisi delle condizioni d’ordine e della convergenza. Inoltre si intende studiare la propagazione dell’errore. Tale studio potrà costituire la base di partenza per la stima dell’errore e per lo studio di altri aspetti utili per l’implementazione di tali metodi in un algoritmo a passo variabile. Sperimentalmente è possibile verificare che l’ordine effettivo di convergenza di metodi GLM si riduce, quando vengono risolti problemi molto stiff. L’obiettivo della ricerca è provare teoricamente che metodi GLM con ordine p e ordine negli stadi q, hanno ordine q quando applicati a problemi stiff. Inoltre si intende approfondire l’analisi teorica del fenomeno di riduzione d’ordine nel caso di metodi GLM che godono della proprietà di stabilità di tipo Runge-Kutta. Nell’ambito dei problemi differenziali frazionari, la ricerca si svilupperà seguendo due direttive. Da un lato si introdurranno metodi two-step per equazioni differenziali frazionarie, allo scopo di innalzare l’ordine di convergenza dei metodi one-step senza aumentare il costo computazionale. Dall’altro lato, per equazioni di diffusione frazionari nel tempo, si propongono metodi misti basati su differenze finite lungo lo spazio e metodi spettrali su basi anche non polinomiali lungo il tempo, che hanno un costo molto inferiore ai metodi passo-passo. Mediante un'opportuna scelta delle funzioni base, ci si attende una convergenza esponenziale. Per tali tipologie di equazioni si propongono inoltre metodi paralleli Waveform Relaxation, anche basati sulla tecnica di decomposizione di domini, con implementazione parallela su GPUs. Per quanto riguarda la soluzione numerica di VIEs si procederà alla derivazione di stime dell’errore ed all’implementazione a passo variabile di metodi di collocazione a due passi che innalzano l’ordine di convergenza dei metodi ad un passo, senza aggravio computazionale. Per le SVIEs si intende formulare e studiare la convergenza di theta-metodi di tipo Eulero-Maruyama e Milstein, per poi analizzarne la stabilità rispetto ad opportune equazioni test. Per quanto attiene alla risoluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche, si procederà allo studio di metodi numerici per equazioni non lineari di tipo dissipativo, che generino soluzioni contrattive in media quadratica. In questo tipo di studio, si analizzeranno le proprietà dei metodi multistep stocastici, al fine di ottenere limitazioni rigorose sul passo di integrazione che garantiscano la conservazione numerica del carattere contrattivo del problema, in ipotesi forti (lipschitzianità globale) e deboli (lipschitzianità locale). Per quanto attiene alla risoluzione PDEs di tipo reazione-diffusione e reazione-diffusione-avvezione, verranno introdotti ed analizzati schemi numerici alle differenze finite ottenuti mediante un opportuno adattamento del metodo delle linee. Infatti, tenendo conto del comportamento qualitativo noto a priori, verranno introdotti schemi spazialmente discretizzati mediante differenze finite su basi non polinomiali. Verranno studiate le proprietà di accuratezza e stabilità, anche in relazione al caso classico, e fornita una stima dei parametri da cui dipendono i coefficienti del metodo numerico. Verrà valutata, inoltre, l'opportunità di utilizzare integratori temporali di tipo IMEX, al fine di ottenere un vantaggio computazionale quando si riscontrino nel campo vettoriale del problema spazialmente discretizzato delle componenti stiff associate a componenti non stiff.