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PROBLEMI DI DESIGN OTTIMO PER MATERIALI CON FRATTURE

Nello spirito di [KS4, CZ, PS] si vogliono studiare problemi di progettazione ottimale che possano incorporare elementi di plasticità, frattura, in modo che sia fruibile sia per il trattamento matematico dei materiali compositi (costituiti da componenti con proprietà meccaniche differenti), policristalli (in cui uno stesso materiale presenti fenomeni di scorrimento e separazione di grani) e materiali fratturati o danneggiati. A seconda del tipo di modello meccanico si useranno, sempre introducendo una penalizzazione sul perimetro (superficie) dell'interfaccia, strumenti e teorie matematiche differenti, cercando di ampliarne l'ambito di applicazione e al tempo stesso evidenziando proprietà ad hoc, non ancora emerse in letteratura. In particolare si studieranno modelli che coinvolgono: 1) la teoria delle deformazioni strutturate (per modellare cristalliti e/o materiali compositi in cui ogni componente abbia una deformazione strutturata differente); 2) teoria delle funzioni speciali avariazione limitata per modellare materiali compositi soggetti a frattura o a danneggiamento; 3) teoria del 'rilassamento con gap' per modellare materiali compositi elastici con risposte differenti. Tale ricerca può dunque essere interpretata come un primo passo verso un risultato di omogeneizzazione per materiali policristallini nel contesto della plasticità, un primo modello in cui l'energia di frattura della configurazione di equilibrio sia determinata esplicitamente a partire da componenti energetiche diverse con comportamenti tipo Griffith. L'ultimo modello, oltre a fornire una nuova modellistica in ambito matematico, rappresenterà pure un risultato matematico interessante per la teoria del rilassamento negli spazi L^{p(x}}, in cui la funzione p(x) sia altamente discontinua. In tutti i modelli il funzionale dell'energia conterrà diversi termini: (i) energie di volume diverse per ogni componente (ii) energie di superficie (laddove presenti) diverse per ogni componente per tener conto dei salti nella deformazione; (iii) una penalizzazione del perimetro dell'interfaccia fra diverse componenti; (iv) eventualmente un termine di superficie che tenga conto dell'interazione fra componenti/cristalliti confinanti. I risultati che si prevede di ottenere saranno di un certo impatto sia per le applicazioni meccaniche sia per l'originalità matematica delle rappresentazioni delle energie integrali che si prevede di determinare. [CZ] G. Carita and E. Zappale: Relaxation for an optimal design problem with linear growth and perimeter penalization. Proc. Royal Soc. Edinburgh A, (2015). [KS4]R. V. Kohn and G. Strang: Optimal design in elasticity and plasticity. Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, 22, (1986), 183-188. [PS]W. Prager and R.T. Shield: A general theory for optimal plastic design. J. Appl. Mech., 34, 1, (1967), 184-186.