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FUNZIONI SUPREMALI E APPROSSIMAZIONE L^P: ESISTENZA DI MINIMI, CONDIZIONI DI SEMICONTINUITÀ NEL CASO VETTORIALE, LEGAMI CON I FUNZIONALI INTEGRALI CON VINCOLI SUL GRADIENTE

Si vuole studiare l’esistenza di soluzioni di problemi di minimo per energie in forma supremale in cui sia prescritto il dato al contorno. Tale problema (nel caso in cui la densità di energia sia un modulo) è collegato alla ricerca di un’unica estensione lipschitziana del dato con la minima costante di Lipschitz, per il quale molto poco è noto in letteratura nel caso vettoriale. Nel caso scalare sono disponibili in letteratura molti risultati di semicontinuità e rilassamento, ma non è mai stato considerato, in assenza di level convexity, il problema della ricerca di condizioni sulla densità di energia che garantiscano l’esistenza di minimi per il problema originale (non rilassato). Si intende fornire una formulazione equivalente del problema in termini di inclusioni differenziali ed utilizzare i risultati inerenti queste ultime per raggiungere una descrizione parallela a quella disponibile per l’analogo problema in ambito integrale, ottenuta da Cellina (in 2 lavori su Nonlinear Analysis del '93 nel caso scalare), Dacorogna, Marcellini, (si veda il lbro di Dacorogna e Marcellini del '99) nel caso vettoriale. Si prevede, inoltre, di affrontare il problema collegato consistente nella descrizione geometrica e topologica, delle proprietà di ‘convessità’ delle funzioni supremande. Tali risultati andranno così a chiarire la letteratura ed ampliare i risultati, per ora solo parziali, disponibili nell'ambito della Matematica per l'Economia e della Ottimizzazione Nonlineare, nello studio dei problemi di Min-Max. Nel caso supremale vettoriale, anche il problema del rilassamento è ancora poco compreso. Manca, infatti, una formula di rappresentazione supremale per il funzionale rilassato e una condizione sufficiente per la semicontinuità di facile verifica. A questo scopo, si pensa di sfruttare la corrispondenza fra funzionali supremali e funzionali integrali non limitati relativi ai sottolivelli, utilizzando le conoscenze personalmente maturate nell’ambito dello studio dei funzionali non limitati e della rappresentazione supremale e recentissimi risultati sulla rappresentazione integrale per funzionali nonlimitati (preprint ArXiV di Anza-Hafsa e Mandallena e i lavori di M. Wagner del 2009). Si cercherà dunque di migliorare la comprensione della quasiconvessità per funzioni a valori sull'asse reale esteso, trovando una definizione soddisfacente vari requisiti. Si vuole pure studiare l'approssimazione L^p per p-> infinito, al fine di utilizzare, anche nella ricerca dei minimi per funzionali supremali non semicontinui, le informazioni derivanti dai funzionali integrali approssimanti, definiti negli spazi di Sobolev. La stessa approssimazione L^p si dovrebbe rivelare utile per ottenere, mediante Gamma-convergenza rispetto alla topologia della convergenza uniforme, una formula di rilassamento nel caso vettoriale per il funzionale supremale.L'idea dell'approssimazione L^p, sarà applicata, d'altra parte anche allo studio di funzionali nello spazio delle funzioni a variazione limitata, cercando così di risolvere equazioni a derivate parziali degeneri che emergono dal mondo delle scienze applicate. Si prevede pure di adottare tale metodo, di Gamma-convergenza in L^1, per lo studio delle strutture sottili, con tecniche rigorose di riduzione dimensionale.