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PROBLEMI DI RILASSAMENTO

Lo studio del rilassamento e della rappresentazione integrale di funzionali che intervengono nella descrizione di problemi di design ottimo consentirà da un lato di dare risposta a questioni aperte di natura applicativa e dall'altro di chiarire questioni di natura teorica legate alla rappresentazione di misure astratte. Per queste ultime, infatti, esistono solo risultati parziali. L'analisi verrà condotta usando la tecnica del blow-up, analizzando le proprietà fini delle funzioni a variazione limitata e opportune proprietà di struttura dei funzionali in esame. D'altra parte i risultati di esistenza che si vogliono ottenere sono uno step fondamentale per la comprensione della regolarità delle zone di design.Si intende cominciare a sviluppare strumenti 'ad hoc' per studiare problemi di rilassamento ed omogeneizzazione che intervengono nei casi limite delle equazioni a derivate parziali e nei funzionali di Eulero-Lagrange a queste associati.Ci si prefigge di introdurre nuovi spazi funzionali dove definire le soluzioni di tali equazioni e i minimi dei funzionali associati. La teoria dovrà tener conto delle connessioni con le equazioni ed i funzionali approssimanti non degeneri (approssimazione L^p), ad esempio legami fra le soluzioni di equazioni non omogenee di tipo p-laplaciano, e le corrispondenti di tipo 1-laplaciano ed infinito-laplaciano. Eventualmente si prenderanno in esame strutture sottili e equazioni differenziali a derivate parziali di ordine superiore.Per quel che concerne la rappresentazione integrale per funzionali dipendenti da più campi vettoriali si intende fornire, con il metodo del blow-up e con lo studio di opportuni spazi tangenti approssimati, un risultato di esistenza nel caso di energie a crescita lineare ed eventualmente a crescita differente fra i due campi vettoriali, dando così luogo a rappresentazioni che coinvolgano funzioni-misure generali. I risultati che si vogliono ottenere trovano applicazione nell'ambito dei problemi di decomposizione di immagini, nella descrizione dei fenomeni di flessione in elasticità, o nello studio dei materiali le cui energie (e le conseguenti configurazioni di equilibrio) dipendono esplicitamente dalla composizione chimica.L' esistenza di minimo per funzionali supremali (cioè funzionali espressi come massimo di certe funzioni in opportuni insiemi e non come integrali) in assenza di convessità è un problema assai complesso e del tutto aperto nel caso vettoriale con implicazioni nel settore della matematica per l'economia, nella rappresentazione integrale vincolata. Anche nel caso scalare sono ancora molte le questioni aperte, legate alla generalità della funzione supremanda o allo studio approfondito delle condizioni sulla funzione supremanda atte a garantire l'esistenza di 'minimi assoluti' e la trasposizione in termini di unicità di soluzioni per opportune equazioni a derivate parziali collegate.Ci si propone di affrontare alcune di queste questioni sviluppando nuovi strumenti di analisi convessa e reintepretando, con una prospettiva diversa la letteratura esistente, in modo da poter estendere i pochi risultati già esistenti.