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TRATTAMENTO NUMERICO DI PROBLEMI DIFFERENZIALI DI EVOLUZIONE

Oggetto della ricerca è lo sviluppo e l'analisi di metodi numerici ad hoc per i seguenti problemi:Problemi di reazione-diffusione oscillanti. Le soluzioni fondamentali di questi problemi sono onde periodiche. Si introdurranno metodi numerici alle differenze finite con un duplice livello di adattamento: lungo il problema, mediante semi-discretizzazione spaziale con differenze finite originanti da un fitting non polinomiale, e lungo il tempo, integrando con metodi special purpose. Problemi di avvezione-diffusione oscillanti. Per queste equazioni, il campo vettoriale si esprime normalmente come la somma di due termini, uno stiff e l’altro non-stiff, che possono essere trattati mediante metodi di tipo implicito-esplicito (IMEX). In riferimento all’equazione di Boussinesq dell’idrodinamica, introdurremo una teoria dei metodi IMEX special purpose. Anche in questo caso studieremo l’opportunità di un duplice livello di adattamento spazio-temporale.Problemi differenziali in Immunologia. La modellizzazione della difesa immunitaria si basa prevalentemente sulla descrizione della dinamica di T-cellule mediante equazioni differenziali, che verranno trattate numericamente mediante un approccio che tenga conto della natura delle soluzioni e del campo vettoriale. I risultati ottenuti verranno analizzati da una prospettiva più squisitamente applicativa, con l’ausilio di esperti, per ritrovare nelle simulazioni numeriche le proprietà osservate in ambito clinico. Problemi conservativi. Si studieranno problemi Hamiltoniani del primo e secondo ordine, con enfasi al loro trattamento numerico mediante metodi multi-value G-simplettici, simmetrici e dotati di componenti parassite limitate a lungo termine, ai fini della conservazione numerica dell’energia su tempi lunghi. In questa direzione, risulterà utile sviluppare condizioni d’ordine generali, meno restrittive di quelle esistenti, affinché si disponga di paramenti liberi da utilizzare per gli scopi di cui sopra. Problemi deterministici e stocastici non lineari. Manca in letteratura una teoria della stabilità non lineare di metodi numerici per problemi del secondo ordine. Si analizzerà il comportamento della soluzione numerica rispetto ad equazioni test non lineari, come l’oscillatore non lineare smorzato, nei casi di esistenza di un attrattore. Nel caso di equazioni differenziali stocastiche si analizzerà il comportamento di metodi noti rispetto alla nozione di stabilità esponenziale in media quadratica.Equazioni integrali di Volterra con soluzione periodica. Si intende completare l’analisi dei metodi di quadratura diretta per equazioni integrali di Volterra con soluzione periodica, basati su formule gaussiane special purpose su due nodi, ed estendere tale approccio a formule con tre nodi. Si intende studiare la stabilità numerica di questi metodi e di quelli già noti in letteratura, al fine di determinare condizioni di stabilità sia sul passo di integrazione che sulla stima della frequenza.Problemi frazionari di diffusione-onde. Si introdurranno metodi WR-Schwarz ottimali, di cui si studierà la velocità di convergenza in presenza condizioni di trasmissione ottimali, anche per l'equazione spazialmente discretizzata. La semi-discretizzazione spaziale darà luogo a sistemi di equazioni frazionarie di grandi dimensioni, per la cui risoluzione si studierà la possibilità di utilizzare metodi WR paralleli alla base di software matematico su processori grafici per accelerarne la risoluzione. Integrazione di funzioni oscillanti. Si costruiranno formule di quadratura efficienti di tipo Filon modificate per l’approssimazione di integrali di funzioni oscillanti su intervalli di integrazione non limitati che, senza degradare l’accuratezza delle formule basate su fitting non polinomiale, non richiedano la risoluzione di sistemi non lineari per il calcolo di pesi e nodi e la determinazione di approssimazioni iniziali accurate al fine di garantire la convergenza del metodo di Newton.