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CLUSTERS DINAMICI: METODI DI STIMA, ALGORITMI, ED APPLICAZIONI A DATI DI ELEVATA DIMENSIONE.

In questo progetto ci proponiamo di affrontare il problema descrittonella sezione 11 con una metodologia di aggregazione delle variabilibasate sulle strutture di gruppo (clusters) esistenti nei dati.Nel caso dei dati finanziari il problema è quello di modellarecongiuntamente la dinamica della rischiosità dei rendimenti degli attivi finanziari. Ad esempio se si volesse costruire un modello per un portafoglio ampiocome l'SP500, si dovrebbe costruire un modello capace di spiegarecongiuntamente 500 serie storiche. Da un punto di vista pratico lacosa è impossibile perché oltre ai limiti computazionali visarebbero seri problemi di identificazione.La strada che vogliamo perseguire è quella di costruite gruppi diserie storiche aventi una struttura probabilistica cross-sectionsimile. Per ogni gruppo costruiamo la serie aggregatarappresentativa del gruppo usando un sistema di peso che dipende dalla stessa struttura di gruppo. Alla fine di questo processo costruiamo un modello dinamico per un numero ridotto di serie storiche,ovvero per le serie storiche rappresentative dei gruppi Il nucleo centrale del progetto è l'individuazione di strutture digruppo nei dati. Una struttura di gruppo può essere studiata mediantemetodi di clustering. In questo progetto ci proponiamo di adottaremetodi di clustering model-based. Nel model-based clustering lapopolazione viene rappresentata come un miscuglio di distribuzioni, doveun punto è definito come appartenente alla particolare sotto-popolazione(cluster) rispetto alla quale è massima la probabilità diappartenenza. I metodi di clustering model-based offrono diversivantaggi, i più importanti sono:(i) implicano una classificazione ''smooth'', nel senso che una unitàviene associata ad un gruppo in base ad una probabilità diappartenenza. In altri termini essi non producono ''hardclassification'' dove una unità viene attribuita esclusivamente ad ungruppo. (ii) consentono una diretta interpretazione qualitativa del clusteringin quanto esso si basa sulla struttura probabilistica della popolazione.(iii) consentono di calcolare probabilità a posteriori di appartenenzaai gruppi. Tali probabilità a posteriori saranno centrali in questoprogetto perché costituiscono i pesi mediante i quali aggregare gliassets classificati nello stesso gruppo. Tuttavia, è ben noto che tali metodi di clustering soffrono di scarsarobustezza e complessità computazionale. In questo lavoro ci proponiamodi usare il model-based clustering per stimare indirettamente la probabilità che le serie storiche di attivi appartengano a sottogruppi omogenei di mercato. Ciò consente di aggregare gli attivi dinamicamente simili per ottenere unnumero ridotto di serie storiche.Si noti, come l'obbiettivo non è quello classicamente perseguito nella cluster analysis, ovvero di ottenere modesti livelli di misclassification,quanto quello di stimare in modo efficiente e robusto la probabilità chel'attivo X abbia una dinamica finanziaria simile all'attivo Y, e che entrambi facciano parte di un gruppo dinamicamente omogeneo. Tale scoposarà raggiunto sfruttando alcuni risultati nella letteratura sulmodel-based clustering. Tuttavia metodi di stima, algoritmi, e procedure numeriche saranno sviluppate in funzione della specificità del problema.Una parte considerevole del progetto sarà dedicata alle applicazioni adati e problemi economico-finanziari con particolare enfasi sullamisurazione del rischio di mercati di grandi dimensioni. Il progetto sipropone anche di sviluppare software documentato e pubblicamentedisponibile in modo da garantire ampia diffusione dei risultati dellaricerca.