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MODELLI E METODI PER LA DIPENDENZA STOCASTICA ED APPLICAZIONI A SISTEMI IN EVOLUZIONE

Il progetto di ricerca sarà rivolto verso i seguenti temi: (i) Studio di modelli matematici per la valutazione dell'affidabilità di sistemi complessi, con riferimento a sistemi connessi in rete, anche con componenti condivisi. (ii) Descrizione e analisi di modelli probabilistici per moti a velocità finita e di tipo diffusivo, anche in presenza di barriere elastiche, e studio delle leggi probabilistiche corrispondenti. (iii) Analisi di processi stocastici per la descrizione di sistemi biologici in evoluzione, anche con riferimento allo studio e alle applicazioni di opportune misure d'informazione. (iv) Formulazione e studio di modelli di passeggiate aleatorie su strutture di varia natura e relativi schemi di dipendenza stocastica. Punto (i): Ci si propone di considerare sistemi coerenti aventi una fissata struttura caratterizzata dalla presenza di dipendenza. Si assume che le componenti del sistema possano essere selezionate da insiemi di vario tipo. Ci si propone di fornire condizioni sufficienti sui tempi di vita dei componenti e sul numero aleatorio di componenti selezionati da ciascun insieme affinché l’affidabilità del sistema soddisfi criteri di ordinamento di tipo stocastico. Si studierà il caso di sistemi coerenti con componenti dipendenti, e si proporranno nuovi tipi di indici (analoghi all’indice di Gini) da applicare a sistemi connessi in rete, con componenti condivisi. Punto (ii): S’intendono analizzare versioni generali del processo del telegrafo integrato possibilmente in presenza di salti di tipo aleatorio, in presenza di barriere di tipo elastico, eventualmente anche perturbazioni diffusive. Per tale processo si propone di ottenere le funzioni di distribuzione e le densità di probabilità, con l’intento di esaminarne possibili applicazioni. Uno studio ulteriore che rientra nel punto (ii) sarà rivolto all’analisi del processo del telegrafo integrato bidimensionale. Punto (iii): L’obiettivo consiste nello studiare modelli stocastici idonei a descrivere i tempi di sopravvivenza di sistemi biologici. Si farà riferimento a popolazioni a più specie governate da processi di nascita-morte di varia natura, ed in particolare a generalizzazioni governate da equazioni differenziali di tipo frazionario. Ci porrà attenzione anche a processi stocastici su grafi. Si porrà attenzione allo studio dei tempi di primo passaggio per lo stato zero (stato di estinzione). La parte innovativa della ricerca consisterà nell’effettuare confronti stocastici tra tali tempi aleatori ricorrendo anche al modello delle funzioni d’azzardo inverse proporzionali per descrivere lo stato iniziale dei processi coinvolti. Ci si attende di pervenire ad espressioni in forma chiusa, e studiare il comportamento asintotico delle leggi di probabilità. Lo studio coinvolgerà anche l’individuazione e l’analisi di proprietà di indici statistici e misure d'informazione basati sull'entropia cumulativa e sue generalizzazioni, sia per descrivere il contenuto d'informazione che il livello di dipendenza nei modelli stocastici considerati. Punto (iv): Ci si prefigge di studiare in dettaglio talune famiglie di passeggiate aleatorie bidimensionali, su strutture reticolari simmetriche, puntando alla determinazione della probabilità di transizione ed alla risoluzione di opportuni sistemi di equazioni alle differenze. Lo studio di tale processo sarà anche arricchito dall’indagine del suo comportamento asintotico, ricorrendo a strumenti della teoria delle grandi deviazioni. Si studieranno anche passeggiate aleatorie in tempo continuo soggette a catastrofi, in presenza di barriere opportune.