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METODI NUMERICI INNOVATIVI PER EQUAZIONI DINAMICHE O EVOLUTIVE, ASSOCIATE A PROCESSI STOCASTICI, ANCHE PER PROBLEMI DI CONTROLLO OTTIMALE

Attività inerenti al progetto di ricerca sono: incontri per giornate di studio con esperti in materia, collaborazione con un gruppo di ricerca dell'Università di Würzburg, partecipazione a conferenze nazionali ed internazionali, e l'eventuale acquisto di materiale bibliografico ed informatico.Sezioni di ricerca:A) Si studieranno principalmente problemi di ottimizzazione vincolata dove il vincolo è un'equazione Fokker-Planck-Kolmogorov, che può essere una EDP di tipo parabolico, iperbolico e/o integro-differenziale. Il problema di ottimizzazione è non-lineare, e consiste nel minimizzare un funzionale della soluzione dell'equazioneEDP, che dipende da una funzione di controllo. La tecnica base di minimizzazione prevede la scrittura di un “sistema di ottimalità” (SO). Il SO è composto da una coppia di EDP da risolvere in avanti e all'indietro nel tempo, più un problema di ricerca del minimo. Si analizzeranno metodi numerici per la risoluzione di questiproblemi, i quali dovranno essere positivi e conservativi per l'equazione in avanti. Per l'equazione all'indietro gli schemi numerici si possono ottenere dalla metodologia “prima discretizzare poi ottimizzare”. Con la soluzione numerica delle EDP si costruisce il gradiente discreto usato per la ricerca del minimo. In alternativa si può minimizzare il funzionale ridotto.Applicazioni esempio di questo problema di ottimizzazione sono: “Model Predictive Control Scheme”, dove il controllo ottimale di una traiettoria viene effettuato in “finestre di tempo” su una sequenza assegnata di funzioni, e nella risoluzione di problemi inversi.Questa sezione della ricerca sarà svolta in collaborazione con il Prof. Alfio Borzì dell'Università di Würzburg, riconosciuto esperto internazionale del settore.B) Continua lo sviluppo di metodi numerici per sistemi di EDP iperboliche con condizioni al bordo non-locali, e di equazioni integrali di tipo Volterra-rinnovo con flusso, relativi alla Liouville Master Equation (LME) o Equazione di Kolmogorov per PDP. Questi due problemi matematici sono molto poco conosciuti. Si cercheranno metodi numerici che garantiscano una soluzione discreta con le stesse caratteristiche di quelle nel continuo: positiva e conservativa. Questa attività è in collaborazione con la Prof.ssa Eleonora Messina, del Dipartimento di Matematica dell'Università di Napoli Federico II.Bibliografia[1] M. Annunziato, A. Borzì, Math. Mod. and Analysis, 15 (2010) 393-407[2] M. Annunziato, A. Borzì, JCAM, Vol. 237 (2013) No. 1, pp. 487-507[3] M. Annunziato, Math. Mod. and Analysis, 14 (2009) 139-158[4] M. Annunziato, E. Messina, Ap.Num. 60 (2010) 809-815.[5] M. Annunziato, H. Brunner, E. Messina, JMAA, Vol. 395 (2012) No. 2, pp. 766-775[6] M. Annunziato, Math. Mod. Analysis Vol. 17 (2012) No. 5, pp. 650-672[7] M. Annunziato, A. Borzì, Math. Models and Meth. in Appl. Sci. Vol. 23 (2013) No. 11, pp. 2039-2064[8] M. Annunziato, A. Borzì, Eur. J. of Appl. Math. Vol. 25 (2014), pp. 1-25[9] M. Annunziato, A. Borzì, M. Magdziarz, A. Weron, Opt. Contr. Appl. and Meth. Vol. 37 (2016), pp. 290-304[10] V. Thalhofer, M. Annunziato , A. Borzì, J Math Biol. 2016 Vol. 73 (2016), pp. 727-749[11] B. Gaviraghi, A. Schindele, M. Annunziato, A. Borzì, Vol. 7 (2016) pp. 1978-2004 [12] B. Gaviraghi, M. Annunziato, A. Borzì, Applied Mathematics and Computation, Vol. 294 (2017) pp. 1-17[13] S. Roy, M. Annunziato, A. Borzì, J. Comp. and Theor. Transport 45 (2016) pp. 442-458[14] A. Fleig, L. Grüne, R. Guglieglimi, MTNS 2014; A. Fleig, R. Guglielmi, J. Opt. Th. Appl. (2017) 1-20.